कक्षा 7 गणित पाठ 1 पूर्णांक प्रश्नावली 1.3 समाधान | Jac board class 7 math chapter 1 exercise 1.3 solutions hindi medium
Class 7 Maths Exercise 1.3 (प्रश्नावली- 1.3 ) का हल करने से पहले हमें कुछ नियमों को जानना पड़ेगा। क्योंकि इन नियमों को समझना बहुत जरूरी है तब जाकर हमें आगे के सवालों को बनाने में आसानी होगा।
JCERT Class 7 Maths Exercise 1.3 Solutions Hindi Medium
नियम 1: दो धनात्मक पूर्णांक का गुणन
(+) × (+) = + (धनात्मक)
जैसे: (2) × (3) = 6.
नोट:- जब दो धनात्मक पूर्णांक को गुणा करेंगे तो हमें एक धनात्मक (+) पूर्णांक मिलेगा।
नियम 2: एक धनात्मक और एक ऋणात्मक पूर्णांक का गुणन
(+) × (-) = - (ऋणात्मक)
जैसे: (2) × (-4) = -8.
नोट:- जब हम एक धनात्मक और एक ऋणात्मक पूर्णांक का गुणा करेंगे तो हमें एक ऋणात्मक (-) पूर्णांक मिलेगा।
नियम 3: दो ऋणात्मक पूर्णांक का गुणन
(-) × (-) = + (धनात्मक)
जैसे: (-2) × (-5) = 10.
नोट:- जब दो ऋणात्मक पूर्णांक को गुणा करेंगे तो हमें एक धनात्मक (+) पूर्णांक मिलेगा।
नियम 4: तीन या तीन से अधिक ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल
जैसे:—
ⓐ (-1) × (-2) × (-3) = 2 × (-3) = -6.
ⓑ (-2) × (-4) × (-6) × (-2) = 8 X 12 = 96
नोट:- इसी तरह से चिन्ह बदल जाता है अगर तीन ऋणात्मक पूर्णांक है तो ऋणात्मक पूर्णांक हो जाता है, चार ऋणात्मक पूर्णांक हो तो धनात्मक और पाँच ऋणात्मक पूर्णांक हो तो ऋणात्मक पूर्णांक इसी तरह से इसमें चिन्ह बदलता रहता है।
आगे और भी नियम दिए गए हैं जिन्हें आप अपने स्कूल के गणित किताब में पढ़ सकते हैं। मैं सारे नियमों को यहां नहीं बताऊंगा क्योंकि फिर यह लेख ज्यादा लंबा हो जाएगा
प्रश्नावली - 1.3 समाधान (Ex - 1.3 Solution)
1) निम्नलिखित गुणनफलों को ज्ञात कीजिए –
(a) 2 × (–1)
हल: 2 × (–1) = –2.
(b) (–1) × 222
हल: (–1) × 222 = –222.
(c) (–21) × (–40)
हल: (–21) × (–40) = 840.
(d) (–432) × (–1)
हल: (–432) × (–1) = 432.
(e) (–18) × 0 × (–13)
हल: (–18) × 0 × (–13) = 0.
(f) (–12) × (–11) × 10
हल: (–12) × (–11) × 10 = 132 × 10 = 1320.
(g) 9 × (–3) × (–5)
हल: 9 × (–3) × (–5) = 9 × 15 = 135.
(h) (–18) × (–5) × (–4)
हल: (–18) × (–5) × (–4) = 90 × (–4) = –360.
2) निम्नलिखित को सत्यापित कीजिए –
(a) 7 × [(–4 + 3)] = [7 × (–4)] + [7 × 3]
हल:
LHS = 7 × [(–4 + 3)]
= 7 × [–1]
= –7
RHS = [7 × (–4)] + [7 × 3]
= –28 + 21
= –7
∴ LHS = RHS सत्यापित.
(b) (–21) × [(–4) + (–6)] = [(–21) × (–4)] + [(–21) × (–6)]
हल:
LHS = (–21) × [(–4) + (–6)]
= (–21) × (–10)
= 210
RHS = [(–21) × (–4)] + [(–21) × (–6)]
= 84 + 126
= 210
∴ LHS = RHS सत्यापित.
(c) (–9) × [10 – (–3)] = [(–9) × 10] – [(–9) × (–3)]
हल:
LHS = (–9) × [10 – (–3)]
= (–9) × (10 + 3)
= (–9) × 13
= –117
RHS = [(–9) × 10] – [(–9) × (–3)]
= –90 – 27
= –117
∴ LHS = RHS सत्यापित.
3) गुणनफल का चिह्न क्या होगा, यदि निम्नलिखित को एक साथ गुणा करते हैं?
(a) आठ ऋणात्मक पूर्णांक एवं तीन धनात्मक पूर्णांक
हल: यहाँ आठ ऋणात्मक पूर्णांक हैं। चूँकि 8 एक सम संख्या है, इसलिए आठ ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल धनात्मक होगा। तीन धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल भी धनात्मक होता है।
अतः, (धनात्मक) × (धनात्मक) = धनात्मक।
Ans: धनात्मक (+)
(b) पन्द्रह ऋणात्मक पूर्णांक एवं दस धनात्मक पूर्णांक
हल: यहाँ पन्द्रह ऋणात्मक पूर्णांक हैं। चूँकि 15 एक विषम संख्या है, इसलिए पन्द्रह ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल ऋणात्मक होगा। दस धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल धनात्मक होता है।
अतः, (ऋणात्मक) × (धनात्मक) = ऋणात्मक।
Ans: ऋणात्मक (-)
(c) (–1) को बारह बार
हल: यहाँ (–1) को 12 बार गुणा किया जा रहा है। चूँकि 12 एक सम संख्या है, इसलिए गुणनफल धनात्मक होगा।
(–1) × (–1) × ... (12 बार) = +1
Ans: धनात्मक (+)
(d) (–1) को 2m बार, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है।
हल: m एक प्राकृत संख्या है (जैसे 1, 2, 3,...)। इसलिए 2m हमेशा एक सम संख्या होगी (जैसे 2×1=2, 2×2=4, 2×3=6,...)।
चूँकि (–1) को एक सम संख्या बार गुणा किया जा रहा है, इसलिए गुणनफल धनात्मक होगा।
Ans: धनात्मक (+)
याद रखें:
- जब ऋणात्मक (-) पूर्णांकों की संख्या सम (जैसे 2, 4, 6...) हो, तो गुणनफल धनात्मक (+) होता है।
- जब ऋणात्मक (-) पूर्णांकों की संख्या विषम (जैसे 1, 3, 5...) हो, तो गुणनफल ऋणात्मक (-) होता है।
- धनात्मक (+) पूर्णांकों से गुणनफल का चिह्न नहीं बदलता।
4) इनका (–1) के साथ गुणनफल क्या होगा?
(a) –22
हल: (–1) × (–22) = 22
(b) 17
हल: (–1) × 17 = –17
(c) 0
हल: (–1) × 0 = 0 (शून्य को किसी भी संख्या से गुणा करने पर शून्य ही आता है)
(d) 1
हल: (–1) × 1 = –1
5) उचित गुणों का उपयोग करते हुए गुणनफल ज्ञात कीजिए।
(a) (–8) × 9 + 9 × (–2)
हल: यहाँ हम वितरण गुण (distributive property) का उपयोग करेंगे: a × b + a × c = a × (b + c)
यहाँ 9 दोनों पदों में है, तो 9 को कॉमन लेंगे:
9 × [(–8) + (–2)]
= 9 × (–8 – 2)
= 9 × (–10)
= –90
(b) 26 × (–48) + (–48) × (–36)
हल: यहाँ भी वितरण गुण का उपयोग करेंगे। (–48) दोनों पदों में है:
(–48) × [26 + (–36)]
= (–48) × (26 – 36)
= (–48) × (–10)
= 480 (क्योंकि – × – = +)
(c) 8 × 53 × (–125)
हल: यहाँ हम क्रम विनिमेय (commutative) और साहचर्य (associative) गुण का उपयोग करके संख्याओं को ऐसे समूह में रखेंगे जिससे गुणा करना आसान हो:
= 53 × [8 × (–125)]
= 53 × (–1000)
= –53000
(d) 15 × (–25) × (–4) × (–10)
हल: यहाँ भी संख्याओं को सुविधा के अनुसार समूह में रखेंगे:
= 15 × [(–25) × (–4)] × (–10)
= 15 × [100] × (–10) (क्योंकि – × – = +)
= 1500 × (–10)
= –15000
(e) (–31) × 102
हल: यहाँ 102 को (100 + 2) लिख सकते हैं और वितरण गुण का उपयोग करेंगे: a × (b + c) = a × b + a × c
= (–31) × (100 + 2)
= (–31) × 100 + (–31) × 2
= –3100 + (–62)
= –3100 – 62
= –3162
(f) (–57) × (–19) + 57
हल: यहाँ 57 को 57 × 1 लिख सकते हैं:
= (–57) × (–19) + 57 × 1
अब 57 कॉमन ले सकते हैं, लेकिन ध्यान दें कि पहले पद में (–57) है। हम इसे 57 × (–1) × (–19) भी लिख सकते हैं।
= 57 × [(–1) × (–19)] + 57 × 1
= 57 × 19 + 57 × 1
अब 57 कॉमन लेंगे (वितरण गुण):
= 57 × (19 + 1)
= 57 × 20
= 1140
(g) 15 × 98
हल: यहाँ 98 को (100 – 2) लिख सकते हैं और वितरण गुण का उपयोग करेंगे: a × (b – c) = a × b – a × c
= 15 × (100 – 2)
= 15 × 100 – 15 × 2
= 1500 – 30
= 1470
(h) (–18) × (–49)
हल: यहाँ (–49) को (–50 + 1) लिख सकते हैं और वितरण गुण का उपयोग करेंगे:
= (–18) × (–50 + 1)
= (–18) × (–50) + (–18) × 1
= 900 + (–18) (क्योंकि – × – = +)
= 900 – 18
= 882
6) किसी हिमीकरण (ठंडा) प्रक्रिया में, कमरे के तापमान को 40°C से 5°C प्रति घण्टे की दर से कम करने की आवश्यकता है। इस प्रक्रिया के शुरू होने के 10 घण्टे बाद कमरे का तापमान क्या होगा?
हल: शुरू में कमरे का तापमान = 40°C
प्रति घण्टे तापमान कम करने की दर = -5°C (क्योंकि तापमान कम हो रहा है, इसलिए माइनस का निशान लगाया है)
∴ 10 घण्टे में कम हुआ तापमान = -5°C × 10 = -50°C (यानी 10 घण्टे में कुल 50°C तापमान कम हो गया)
∴ 10 घण्टे बाद कमरे का तापमान = शुरू का तापमान + (10 घण्टे में कम हुआ कुल तापमान)
= 40°C + (-50°C)
= 40°C - 50°C
= -10°C
उत्तर: 10 घण्टे बाद कमरे का तापमान -10°C होगा।
7) किसी परीक्षा में कुल 15 प्रश्न हैं। प्रत्येक सही उत्तर के लिए 4 अंक और गलत उत्तर के लिए (–2) अंक दिये जाते हैं।
(a) सरस्वती सभी प्रश्नों को हल करती है, परन्तु उसके उत्तर में से केवल 9 सही हैं। उसे कुल कितने अंक प्राप्त हुए?
हल: सही उत्तर = 9
गलत उत्तर = 15 - 9 = 6
कुल अंक = (9 × 4) + (6 × -2)
= 36 - 12
= 24 अंक
(b) सविता के 5 उत्तर सही और शेष गलत हैं। उसे कुल कितने अंक प्राप्त हुए?
हल: सही उत्तर = 5
गलत उत्तर = 15 - 5 = 10
कुल अंक = (5 × 4) + (10 × -2)
= 20 - 20
= 0 अंक
8) एक खाद कम्पनी को यूरिया खाद बेचने पर ₹8 प्रति बोरी की दर से लाभ होता है और डी०ए०पी० खाद बेचने पर ₹5 प्रति बोरी की दर से हानि होती है।
(a) किसी महीने में वह कम्पनी 2000 बोरियाँ यूरिया और 3000 बोरियाँ डी० ए० पी० बेचती है उसका लाभ या हानि निकालें?
हल: दिया है -
1 बोरी यूरिया बेचने पर लाभ = ₹8
1 बोरी डी०ए०पी० बेचने पर हानि = ₹5
यूरिया की बेची गई बोरियों की संख्या = 2000
डी०ए०पी० की बेची गई बोरियों की संख्या = 3000
2000 यूरिया की बोरियों को बेचने पर प्राप्त लाभ:
= 2000 × ₹8
= ₹16000
3000 डी०ए०पी० की बोरियों को बेचने पर हुई हानि:
= 3000 × ₹5
= ₹15000
∴ लाभ = ₹16000 - ₹15000 = ₹1000
(b) बेची गई डी०ए०पी० की बोरियों की संख्या 3200 हो, तो कम्पनी को यूरिया की कितनी बोरियाँ बेचनी चाहिए, ताकि उसे न तो लाभ हो न हानि?
हल:
माना कि यूरिया की बेची गई बोरियों की संख्या = \( x \)
∵ न तो लाभ न ही हानि हो,
∴ लाभ = हानि
\[ x \times 8 = 3200 \times 5 \] \[ x \ = \frac{\stackrel{400}{\cancel{3200}} \times 5}{\cancel{8}} \] \[ x \ = 400 \times 5 = \boxed{2000} \]
∴ \( \boxed{2000} \) यूरिया की बोरियों को बेचने पर न तो लाभ होगा न ही हानि।
9) निम्नलिखित गुणा सारणी को पूरा कीजिए :
इसको आप स्वयं पुस्तक की मदद से हल करिए।
10) रिक्त स्थानों को भरिए
(a) (–7) × ______ = 42
Ans. (–6)
(b) 11 × ______ = –99
Ans. (–9)
(c) (–81) × ______ × 15 = 0
Ans. 0
(d) (–8) × ______ = –8
Ans. 1
(e) (–37) × ______ = –37
Ans. 1
(f) (–27) × ______ = 27
Ans. (–1)
(g) (–8) × (–9) = (–9) × ______
Ans. (–8) [क्रमविनिमेय गुण]
(h) ______ × (–7) = –56
Ans. 8
(i) 3 × [(–7) + 51] = 3 × (–7) + 3 × ______
Ans. 51 [वितरण गुण]
(j) (–9) × ______ = 0
Ans. 0
बाकी प्रश्नावली का हल भी देखें ⤵